Unterschied Absolute Und Relative Häufigkeit

Stell Dir vor, Du spielst mit Deinen Freunden ein Würfelspiel. Derjenige, der die meisten Sechsen würfelt, gewinnt das Spiel. Wie es aussieht, hast Du ziemlich Glück und von 20 Würfen viermal eine Sechs gewürfelt. Dein Freund dagegen hat sechsmal eine Sechs gewürfelt, hat dafür aber 32-mal gewürfelt. Dein Freund hat zwar mehr Sechsen gewürfelt, aber hatte er auch dice bessere Trefferquote? Bei der Beantwortung dieser Frage können Dir die relativen Häufigkeiten behilflich sein.

Was genau unter der relativen Häufigkeit zu verstehen ist, wie Du sie berechnen kannst und was sie mit der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperimentes zu tun chapeau, erfährst Du hier.

Absolute und Relative Häufigkeit

In der Stochastik wird zwischen absoluten und relativen Häufigkeiten unterschieden. Damit Du die beiden Begriffe besser voneinander abgrenzen kannst, wird an dieser Stelle neben der relativen Häufigkeit auch kurz die absolute Häufigkeit beleuchtet.

Absolute Häufigkeit

Bei der absoluten Häufigkeit geht es darum, wie oftentimes ein bestimmtes Ereignis stattfindet. Somit ist dice accented Häufigkeit im weitesten Sinne mit dem Begriff Anzahl oder Zählung gleichzusetzen.

Dice absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis 10 innerhalb eines Zufallsexperimentes mit due north Versuchen eintritt.

Die mathematische Schreibweise lautet wie folgt:

Was ist jetzt dice absolute Häufigkeit bei dem Würfelspiel eine Sechs zu würfeln?

Für die absolute Häufigkeit zählst Du nun, wie oft die Zahl 6 bei 20 Würfen gewürfelt wurde. In dem Spiel hast Du ganze viermal eine Sechs gewürfelt. Dice absolute Häufigkeit beträgt demnach 4.

Relative Häufigkeit

Bei der relativen Häufigkeit wird dice absolute Häufigkeit ins Verhältnis zu der Anzahl due north der Ausführungen (oder Versuche) gesetzt.

Die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses X beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtmenge n der Versuche. Hierbei handelt es sich also um eine Zahl, die zwischen 0 und ane liegt.

Du kannst die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses berechnen, indem Du dice absolute Häufigkeit durch die Gesamtmenge der Versuche teilst.

Da es sich bei der relativen Häufigkeit immer um einen Anteil, also einen relativen Wert handelt, wird sie neben Brüchen und Dezimalzahlen von 0 bis 1 auch häufig in Prozent angegeben.

Zur Erinnerung: Um ein Dezimalzahl in eine Prozentzahl umzurechnen, musst Du die Dezimalzahl mit 100 multiplizieren.

Was ist also dice relative Häufigkeit dafür, dass Du in dem Spiel eine Sechs gewürfelt hast?

Um dice relative Häufigkeit für das Ereignis, bei 20 Würfen eine Sechs zu würfeln, zu berechnen, teilst Du die absolute Häufigkeit durch die Gesamtzahl der Würfe .

Um diese Zahl in Prozent darzustellen, multiplizierst Du sie mit dem Faktor 100.

Unterschied absolute und relative Häufigkeit

Da dice absolute Häufigkeit dice Anzahl von Ereignissen zählt, handelt es sich dabei immer um ganze natürliche Zahlen (0, one, ii, 3, ..). Da Relative Häufigkeiten sind dagegen Zahlen, dice zwischen 0 und ane liegen. Wie Du im Würfelbeispiel sehen konntest, hängt dice relative Häufigkeit von der absoluten Häufigkeit ab. Die absolute Häufigkeit gibt Dir nur Auskunft darüber, wie oft ein bestimmtes Ereignis zugetroffen hat. Mit der relativen Häufigkeit kannst Du darüber hinaus absolute Häufigkeiten direkt miteinander vergleichen und bewerten.

Du hast bei dem Spiel von xx Versuchen viermal eine Sechs gewürfelt. Dein Freund hat sechsmal eine Sechs gewürfelt, hat dafür aber ganze 32-mal gewürfelt. Wer lid jetzt im Verhältnis mehr Sechsen gewürfelt?

Um das zu beantworten, vergleichst Du dice beiden relativen Häufigkeiten miteinander. Deine relative Häufigkeit hast Du bereits berechnet. Sie liegt bei .

Nun berechnest Du zum Vergleich die relative Häufigkeit Deines Freundes:

Wie Du sehen kannst, ist Deine relative Häufigkeit größer als die Deines Freundes. Dein Freund lid somit zwar absolut mehr Sechsen gewürfelt (⁣absolute Häufigkeit), aber dennoch hast Du eine bessere Trefferquote (⁣ relative Häufigkeit)

Häufigkeitstabelle

Um Häufigkeiten verschiedener Ereignisse übersichtlich darzustellen, werden in der Statistik Häufigkeitstabellen verwendet. In ihnen findest Du jedes mögliche Ereignis im Zufallsexperiment, die absoluten Häufigkeiten zu jedem Ereignis und die daraus resultierenden relativen Häufigkeiten.

Im folgenden Beispiel kannst Du eine mögliche Häufigkeitstabelle für das Würfelspiel sehen.

X
	one	6	2	3	4	4

In die erste Zeile trägst Du alle möglichen Ereignisse 10 ein, die in dem Zufallsexperiment auftreten können. In dem Spiel sind das die Zahlen von 1 bis vi.

Dice Häufigkeitstabelle zeigt Dir in der zweiten Zeile die absoluten Häufigkeiten , likewise wie oft Du welche Zahl bei 20 Würfen gewürfelt hast. Dabei fiel einmal dice Eins, sechsmal die Zwei, zweimal die Drei, dreimal die Vier und dice Fünf und Sechs jeweils viermal.

Dice einzelnen absoluten Häufigkeiten in einem Zufallsexperiment ergeben zusammen addiert die Gesamtanzahl der Versuche. Hier ergeben sie zusammen gerechnet also 20.

In der dritten Zeile berechnest Du die relativen Häufigkeiten der einzelnen Ereignisse. Dafür teilst Du die absolute Häufigkeit eines Ereignisses X durch dice Gesamtzahl der Würfe .

Graphische Darstellungsform der Häufigkeitstabelle

Die Häufigkeitsverteilung lässt sich auch graphisch darstellen. Dabei werden die relativen Häufigkeiten in Prozent auf der y-Achse und die Merkmalsausprägungen auf der ten-Achse eingetragen. Dabei entsteht ein Säulendiagramm.

And so ein Säulendiagramm für die relative Häufigkeitsverteilung des Würfelspiels sieht wie folgt aus.

Abbildung ane: relative Häufigkeitsverteilung

Als Grundlage für das Säulendiagramm dient dice Häufigkeitstabelle des Würfelspiels. Auf der x-Achse sind somit die möglichen Ereignisse des Zufallsexperimentes, also die Augenzahlen von i bis 6, dargestellt und auf der y-Achse die relative Häufigkeiten in Prozent.

Möchtest Du z. B. die relative Häufigkeit der Zahl 2 ablesen, schaust Du auf der x-Achse bei der 2, bis zu welchem y-Wert die Säule reicht. In dem Fall bis xxx %.

Kumulierte relative Häufigkeiten

In Häufigkeitstabellen sind auch meist kumulierte Häufigkeiten angegeben. Diese betreffen sowohl die relativen als auch die absoluten Häufigkeiten.

Eine kumulierte Häufigkeit ist eine aufsummierte Häufigkeit. Sie gibt somit die Summe aller Häufigkeiten zu einem bestimmten Punkt an. Deshalb wird sie auch Summenhäufigkeit genannt. Dice Summe aller relativen Häufigkeiten muss 1 bzw. 100 % ergeben.

Dice kumulierte relative Häufigkeit kann ebenfalls anhand des Datensatzes des Würfelbeispiels erklärt werden.

Beziehung der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit

Vielleicht fragst Du Dich jetzt, wo genau der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit und der relativen Häufigkeit eines Zufallsereignisses ist.

Die Wahrscheinlichkeit p (10) ist ein Maß in der Stochastik für die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.

Bei einem Würfel, mit 6 gleich großen Seiten, gibt es half dozen gleich wahrscheinliche Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln ist immer genauso hoch, wie dice, eine Drei zu würfeln usw. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass z. B. eine Sechs gewürfelt wird, beträgt somit:

Wie Du in der Häufigkeitstabelle des Würfelspiels sehen konntest, sind dice relativen Häufigkeiten der einzelnen Zufallsereignisse bei 20 Würfen nicht gleich, sondern sie unterscheiden sich. Die relative Häufigkeit für dice Zahl Sechs bei 20 Würfen beträgt entgegen der Wahrscheinlichkeit:

.

Bedeutet das jetzt, dass der Würfel gezinkt ist? – Nein. Der Grund für diese Abweichung liegt an dem kleinen Stichprobenumfang n (Gesamtanzahl der Würfe) des Zufallsexperimentes.

Laut dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr der erwarteten Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses an, je höher die Gesamtanzahl der Versuche due north ist.

Bei einer kleinen Gesamtanzahl an Versuchen, wie bei dem Würfelspiel, kann somit die Abweichung zwischen der relativen Häufigkeit und der erwarteten Wahrscheinlichkeit noch relativ groß sein. Um likewise von der empirisch ermittelten relativen Häufigkeit auf dice Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses zu schließen, brauchst Du deutlich mehr Versuche.

Abbildung 3: relative Häufigkeitsverteilung für die Zahl 6

Aufgaben zur relativen Häufigkeit

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du nun Dein Wissen über die relative Häufigkeiten auf die Probe stellen und weiter vertiefen.

Aufgabe 1: relative Häufigkeiten bestimmen

Stell Dir vor, Du schnappst Dir eine Packung Gummibärchen, öffnest sie und schüttest den Inhalt vor Dir aus. Jetzt sortierst Du die Gummibärchen nach Farben. In einer Packung mit 100 Gummibärchen sind xxx Gummibärchen rot, xx orange, 24 grün und 26 gelb. Bestimme dice relativen Häufigkeiten zu den jeweiligen Farben in einer Häufigkeitstabelle und stell dice relativen Häufigkeiten grafisch dar.

Lösung

Stichprobenumfang

Ereignis X	rot	orange	grün	gelb
	thirty	20	24	26

Abbildung four: relative Häufigkeitsverteilung zu Aufgabe 1

Aufgabe 2: kumulierte relative Häufigkeiten bestimmen

Dein Freund mag nur dice grünen und orangen Gummibärchen. Bestimme mithilfe der kumulierten Häufigkeiten den Anteil der Gummibärchen, den Dein Freund aus der ganzen Tüte mag.

Lösung

In Aufgabe one hast Du bereits die relativen Häufigkeiten zu den verschiedenen Farben der Gummibärchen berechnet. Da Dein Freund nur dice grünen und orangen Gummibärchen mag, addierst Du hier die relativen Häufigkeiten der beiden Farben miteinander.

Dein Freund mag somit 44 Prozent der Gummibärchen aus der gesamten Tüte.

Accented und relative Häufigkeit - Das Wichtigste

Source: https://www.studysmarter.de/schule/mathe/stochastik/relative-haeufigkeit/

Posted by: steelplam1994.blogspot.com

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